Правила сравнения обыкновенных дробей зависят от вида дроби (правильная, неправильная, смешанная дробь) и от знаменателей (одинаковые или разные) у сравниваемых дробей. Правило . Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сравнить их числители. Больше (меньше) та дробь, у которой числитель больше (меньше). Например , сравнить дроби:
Правило . Неправильная и смешанная дроби всегда больше любой правильной дроби. Правильная дробь по определению меньше 1, поэтому неправильная и смешанная дроби (имеющие в своем составе число, равное или больше 1) больше правильной дроби.
Правило . Из двух смешанных дробей больше (меньше) та, у которой целая часть дроби больше (меньше). При равенстве целых частей смешанных дробей больше (меньше) та дробь, у которой больше (меньше) дробная часть.
Например , сравнить дроби:
Аналогично сравнению натуральных чисел на числовой оси большая дробь стоит правее меньшей дроби.
В этой статье речь пойдет про сравнение смешанных чисел . Сначала мы разберемся, какие смешанные числа называются равными, а какие – неравными. Дальше мы приведем правило сравнения неравных смешанных чисел, которое позволяет выяснить, какое число больше, а какое – меньше, и рассмотрим примеры. Наконец, мы остановимся на сравнении смешанных чисел с натуральными числами и обыкновенными дробями.
Навигация по странице.
Сначала нужно знать, какие смешанные числа называются равными, а какие – неравными. Дадим соответствующие определения.
Определение.
Равные смешанные числа – это смешанные числа, у которых равны и целые части, и дробные части.
Иными словами, два смешанных числа называются равными, если их записи полностью совпадают. Если же записи смешанных чисел отличаются, то такие смешанные числа называют неравными.
Определение.
Неравные смешанные числа – это смешанные числа, записи которых отличаются.
Озвученные определения позволяют с одного взгляда определить, равны ли данные смешанные числа или нет. Например, смешанные числа и равные, так как их записи полностью совпадают. Эти числа имеют равные целые части и равные дробные части. А смешанные числа и - неравные, так как они имеют неравные целые части. Другими примерами неравных смешанных чисел являются и , а также и .
Иногда возникает необходимость выяснить, какое из двух неравных смешанных чисел больше другого, а какое – меньше. Как это делается, рассмотрим в следующем пункте.
Сравнение смешанных чисел можно свести к сравнению обыкновенных дробей . Для этого достаточно перевести смешанные числа в неправильные дроби .
Для примера, сравним смешанное число и смешанное число , представив их в виде неправильных дробей. Имеем и . Так сравнение исходных смешанных чисел сводится к сравнению дробей с разными знаменателями и . Так как , то .
Сравнение смешанных чисел через сравнение равных им дробей является не лучшим решением. Гораздо удобнее использовать следующее правило сравнения смешанных чисел : больше то смешанное число, целая часть которого больше, если же целые части равны, то больше то смешанное число, дробная часть которого больше.
Рассмотрим, как происходит сравнение смешанных чисел по озвученному правилу. Для этого разберем решения примеров.
Пример.
Какое из смешанных чисел и больше?
Решение.
Целые части сравниваемых смешанных чисел равны, поэтому сравнение сводится к сравнению дробных частей и . Так как , то 
. Таким образом, смешанное число больше, чем смешанное число .
Ответ:
Разберемся, как сравнить смешанное число и натуральное число.
Справедливо такое правило сравнения смешанного числа с натуральным числом : если целая часть смешанного числа меньше данного натурального числа, то смешанное число меньше данного натурального числа, а если целая часть смешанного числа больше или равна данному смешанному числу, то смешанное число больше данного натурального числа.
Разберем примеры сравнения смешанного числа и натурального числа.
Пример.
Сравните числа 6 и .
Решение.
Целая часть смешанного числа равна 9 . Так как она больше натурального числа 6 , то .
Ответ:
Пример.
Дано смешанное число и натуральное число 34 , какое из чисел меньше?
Решение.
Целая часть смешанного числа меньше числа 34 (11<34 ), поэтому .
Ответ:
Смешанное число меньше, чем число 34 .
Пример.
Выполните сравнение числа 5 и смешанного числа .
Решение.
Целая часть данного смешанного числа равна натуральному числу 5 , следовательно, данное смешанное число больше, чем 5 .
Ответ:
В заключение этого пункта отметим, что любое смешанное число больше единицы. Это утверждение следует из правила сравнения смешанного числа и натурального числа, а также из того, что целая часть любого смешанного числа либо больше 1 , либо равна 1 .
Сначала скажем про сравнение смешанного числа и правильной дроби . Любая правильная дробь меньше единицы (смотрите правильные и неправильные дроби), следовательно, любая правильная дробь меньше любого смешанного числа (так как любое смешанное число больше 1 ).
План-конспект урока математики в 6 классе
Тема урока: «Сравнение смешанных чисел»
Цель урока: изучить правила сравнения смешанных чисел; закрепить умения и навыки сравнения обыкновенных дробей и смешанных чисел при решении задач.
Задачи:
обобщить знания учащихся об обыкновенных дробях и смешанных числах, формировать умения сравнивать обыкновенные дроби и смешанные числа;
продолжить работу по развитию логического мышления, памяти, воображения, формированию математически грамотной речи;
воспитать у учащихся чувство ответственности, совершенствовать навыки самостоятельной деятельности.
Тип урока: урок изучения новых знаний .
Оборудование: проектор, интерактивная доска, раздаточный материал.
Структура урока:
1. Организационный момент (3 мин).
2. Актуализация знаний (10мин).
3. Изучение нового материала (8мин).
4. Физкультминутка (1 мин).
5. Закрепление пройденного (15мин).
6. Домашнее задание (1 мин).
7. Итог урока (2 мин).
Ход урока.
I. Организационный момент . (Слайд №2)
Ребята, открываем тетради, записываем дату и тему урока «Сравнение смешанных чисел».
Сегодня мы изучим новую тему, научимся сравнивать смешанные числа. Но до этого мы должны повторить одну важную тему. А какую, узнаете, если решите ребус :
( дробь )
II. Актуализация знаний. Устная работа .
1) - Посмотрите на экран (слайд№3 ).
- Напишите какая часть фигуры закрашена? запишите дробь (3/8)
Как называется число, записанное под чертой? (знаменатель )
Что показывает знаменатель дроби? (знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое )
Как называется число, записанное над чертой? (числитель )
Что показывает числитель дроби? (числитель показывает, сколько частей взяли )
2) - Следующее задание « Найдите лишнее» (слайд№4) :
А) числитель; сумма; знаменатель; дробь.
Б) ;. ()
Почему лишнее? ( это неправильная дробь, остальные – правильные )
Какие дроби называются правильными? (у правильных дробей числитель меньше знаменателя)
- Какие дроби называются неправильными? (у неправильных дробей числитель больше или равен знаменателю)
В) ;. ()
Почему оно лишнее? (это смешанное число) Записываю на доске
Из каких частей состоит смешанное число? (из целого числа и дроби или целой части и дробной части )
3) Самостоятельная работа на карточках.
Теперь вспомним, как сравнивают обыкновенные дроби. Для этого выполним самостоятельную работу . Решения записываем на листочках с заданиями:
…. ; …. ;
…. ; …. ;
…. ; …. .
Проверим ваши решения. У кого правильно, без ошибок - ставим «5», у кого 1-2 ошибки- «4», у кого 3 и более – «3».
Самопроверка (на слайде№5 ответы)
Какими правилами сравнения обыкновенных дробей вы воспользовались? (с правилами сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями и с одинаковыми числителями)
Давайте прочтём вместе вслух правила сравнения:
Правило 1: (Слайд №6)
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше .
Правило 2: (Слайд№6)
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше .
Изучение новой темы « Сравнение смешанных чисел »
При сравнении смешанных чисел могут быть два случая сравнения.
Рассмотрим первый случай. Посмотрите на экран (Слайд №7 ).
Какие смешанные числа изображены на экране? ( и )
Запишите их в тетрадь:
Назовите целую часть каждого числа. (3 и 2)
Целые части одинаковые или разные? (разные )
В каком смешанном числе больше целая часть? (в первом )
Какое число больше? ()
- Какой можем сделать вывод? Продолжите …
Значит , чтобы сравнить смешанные числа, вначале сравниваем целые части.
Вывод : Из двух смешанных чисел больше то, в котором целая часть …..больше .
Примеры на закрепление (Слайд №8)
- Выполним устно следующее задание :
Прочитайте и сравните числа: и; и; и. Что больше?
Продолжение и зучения новой темы
Рассмотрим второй случай. Какие смешанные числа изображены на следующем слайде? (Слайд №9)
Запишите в тетради смешанные числа
Что можно сказать о целых частях данных смешанных чисел? (они одинаковые )
Как вы думаете, как сравнить два смешанных числа с одинаковыми целыми частями? (посмотреть на дробные части или дроби )
Что больше ¾ или ¼ ? (¾)
Какое число больше? ()
- Значит, если целые части одинаковы, то смотрим на дробные части
В ывод: (Слайд №8) Продолжите …
Из двух смешанных чисел с одинаковыми целыми частями больше то число, у которого дробная часть ……больше .
Физкультминутка (слайд №9).
Раз – поднялись, потянулись.
Два – нагнулись, разогнулись.
Три – в ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
На четыре – руки шире.
Пять – руками помахать.
Шесть – за парту тихо сесть.
V. Закрепление изученного .
1 ) Работа с учебником .
Открываем учебники на Стр. 84 решаем № 317 (2)
К доске выходит ….., а остальные решают в тетрадях.
2) - Решите устно задачу (на Слайде №10) .
У Маши апельсин, у Алёны апельсин, у Оли апельсин. У кого больше апельсин? У кого меньше апельсин?
3) Игра «Математические бусы».
На доске нарисованы бусы. Вам нужно по очереди выходить к доске, придумать и записать в кружочки смешанные числа в порядке возрастания .
VI. Итог урока .
Какую тему сегодня на уроке изучили?
Как сравнить смешанные числа с разными целыми частями?
Как сравнить смешанные числа с одинаковыми целыми частями?
- Оценки за урок : .
Спасибо за работу!
VI I . Домашнее задание : №320 с. 85. (сравнить смешанные)
Дополнительное задание для самостоятельной работы (в конце урока):
Вариант 1.
Сравнить числа:
…. ; … ; 10 ….. 10
…. ; … ; ….. 3
Самостоятельная работа (на 3 мин)
Вариант 1
…. ; …. ;
…. ; …. ;
…. ; …. .
Правила сравнения обыкновенных дробей зависят от вида дроби (правильная, неправильная, смешанная дробь) и от знаменателен (одинаковые или разные) у сравниваемых дробей.
В этом разделе рассматриваются варианты сравнения дробей, имеющих одинаковые числители или знаменатели.
Правило. Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сравнить их числители. Больше (меньше) та дробь, у которой числитель больше (меньше).
Например, сравнить дроби:
Правило. Чтобы сравнить правильные дроби с одинаковыми числителями, надо сравнить их знаменатели. Больше (меньше) та дробь, у которой знаменатель меньше (больше).
Например, сравнить дроби:
Правило. Неправильная и смешанная дроби всегда больше любой правильной дроби.
Правильная дробь но определению меньше 1, поэтому неправильная и смешанная дроби (имеющие в своем составе число, равное или больше 1) больше правильной дроби.
Правило. Из двух смешанных дробей больше (меньше) та, у которой целая часть дроби больше (меньше). При равенстве целых частей смешанных дробей больше (меньше) та дробь, у которой больше (меньше) дробная часть.
Данная статья рассматривает сравнение дробей. Здесь мы выясним, какая из дробей больше или меньше, применим правило, разберем примеры решения. Сравним дроби как с одинаковыми, так и разными знаменателями. Произведем сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом.
Когда производится сравнение дробей с одинаковыми знаменателями, мы работаем только с числителем, а значит, сравниваем доли числа. Если имеется дробь 3 7 , то она имеет 3 доли 1 7 , тогда дробь 8 7 имеет 8 таких долей. Иначе говоря, если знаменатель одинаковый, производится сравнение числителей этих дробей, то есть 3 7 и 8 7 сравниваются числа 3 и 8 .
Отсюда следует правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями:из имеющихся дробей с одинаковыми показателями считается большей та дробь, у которой числитель больше и наоборот.
Это говорит о том, что следует обратить внимание на числители. Для этого рассмотрим пример.
Пример 1
Произвести сравнение заданных дробей 65 126 и 87 126 .
Решение
Так как знаменатели дробей одинаковые, переходим к числителям. Из чисел 87 и 65 очевидно, что 65 меньше. Исходя из правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями имеем, что 87 126 больше 65 126 .
Ответ: 87 126 > 65 126 .
Сравнение таких дробей можно соотнести со сравнением дробей с одинаковыми показателями, но имеется различие. Теперь необходимо дроби приводить к общему знаменателю.
Если имеются дроби с разными знаменателями, для их сравнения необходимо:
Рассмотрим данные действия на примере.
Пример 2
Произвести сравнение дробей 5 12 и 9 16 .
Решение
В первую очередь необходимо привести дроби к общему знаменателю. Это делается таким образом: находится НОК, то есть наименьший общий делитель, 12 и 16 . Это число 48 . Необходимо надписать дополнительные множители к первой дроби 5 12 , это число находится из частного 48: 12 = 4 , для второй дроби 9 16 – 48: 16 = 3 . Запишем получившееся таким образом: 5 12 = 5 · 4 12 · 4 = 20 48 и 9 16 = 9 · 3 16 · 3 = 27 48 .
После сравнения дробей получаем, что 20 48 < 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .
Ответ: 5 12 < 9 16 .
Имеется еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями. Он выполняется без приведения к общему знаменателю. Рассмотрим на примере. Чтобы сравнить дроби a b и c d , приводим к общему знаменателю, тогда b · d , то есть произведение этих знаменателей. Тогда дополнительные множители для дробей будут являться знаменатели соседней дроби. Это запишется так a · d b · d и c · b d · b . Используя правило с одинаковыми знаменателями, имеем, что сравнение дробей свелось к сравнениям произведений a · d и c · b . Отсюда получаем правило сравнения дробей с разными знаменателями:если a · d > b · c , тогда a b > c d , но если a · d < b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.
Пример 3
Произвести сравнение дробей 5 18 и 23 86 .
Решение
Данный пример имеет a = 5 , b = 18 , c = 23 и d = 86 . Тогда необходимо вычислить a · d и b · c . Отсюда следует, что a · d = 5 · 86 = 430 и b · c = 18 · 23 = 414 . Но 430 > 414 , тогда заданная дробь 5 18 больше, чем 23 86 .
Ответ: 5 18 > 23 86 .
Если дроби имеют одинаковые числители и разные знаменатели, тогда можно выполнять сравнение по предыдущему пункту. Результат сравнения возможет при сравнении их знаменателей.
Имеется правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, которая имеет меньший знаменатель и наоборот.
Рассмотрим на примере.
Пример 4
Произвести сравнение дробей 54 19 и 54 31 .
Решение
Имеем, что числители одинаковые, значит, что дробь, имеющая знаменатель 19 больше дроби, которая имеет знаменатель 31 . Это понятно, исходя из правила.
Ответ: 54 19 > 54 31 .
Иначе можно рассмотреть на примере. Имеется две тарелки, на которых 1 2 пирога, анна другой 1 16 . Если съесть 1 2 пирога, то насытишься быстрей, нежели только 1 16 . Отсюда вывод, что наибольший знаменатель при одинаковых числителях является наименьшим при сравнении дробей.
Сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом идет как и сравнение двух дробей с записью знаменателей в виде 1 . Для детального рассмотрения ниже приведем пример.
Пример 4
Необходимо выполнить сравнение 63 8 и 9 .
Решение
Необходимо представить число 9 в виде дроби 9 1 . Тогда имеем необходимость сравнения дробей 63 8 и 9 1 . Далее следует приведение к общему знаменателю путем нахождения дополнительных множителей. После этого видим, что нужно сравнить дроби с одинаковыми знаменателями 63 8 и 72 8 . Исходя из правила сравнения, 63 < 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .
Ответ: 63 8 < 9 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
