Чтобы понять, как складывать дроби с разными знаменателями, сначала изучим правило, а затем рассмотрим конкретные примеры.
Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо:
1) Найти(НОЗ) данных дробей.
2) Найти дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого новый знаменатель нужно разделить на старый.
3) Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями.
4) Проверить, является ли полученная в результате дробь правильной и несократимой.
В следующих примерах надо сложить или вычесть дроби с разными знаменателями:
1) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, сначала ищем наименьший общий знаменатель данных дробей. Выбираем большее из чисел и проверяем, делится ли оно на меньшее. 25 на 20 не делится. Умножаем 25 на 2. 50 на 20 не делится. Умножаем 25 на 3. 75 на 20 не делится. Умножаем 25 на 4. 100 на 20 делится. Значит, наименьший общий знаменатель равен 100.
2) Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый. 100:25=4, 100:20=5. Соответственно, к первой дроби дополнительный множитель 4, ко второй — 5.
3) Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и вычитаем дроби по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
4) Полученная дробь — правильная и несократимая. Значит, это — ответ.
1) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала ищем наименьший общий знаменатель. 16 на 12 не делится. 16∙2=32 на 12 не делится. 16∙3=48 на 12 делится. Значит, 48 — НОЗ.
2) 48:16=3, 48:12=4. Это — дополнительные множители к каждой дроби.
3) умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и складываем новые дроби.
4)Полученная в результате дробь — правильная и несократимая.
1) 30 на 20 не делится. 30∙2=60 на 20 делится. Значит, 60 — наименьший общий знаменатель этих дробей.
2) чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель поделить на старый: 60:20=3, 60:30=2.
3) умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и вычитаем новые дроби.
4) полученную дробьна 5.
1) 8 на 6 не делится. 8∙2=16 на 6 не делится. 8∙3=24 делится и на 4, и на 6. Значит, 24 — это и есть НОЗ.
2) чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, нужно новый знаменатель разделить на старый. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Значит, 3, 6 и 4 — дополнительные множители к первой, второй и третьей дроби.
3) умножаем числитель и знаменатель каждой долби на дополнительный множитель. Складываем и вычитаем. Полученная дробь — неправильная, поэтому необходимо выделить целую часть.
Инструкция
Сначала вспомните что дробь – это всего лишь условная запись деления одного числа на другое. В от сложения и умножения, при делении двух целых чисел не всегда получается целое число. Вот и называть эти два «делящихся» числа . То число, которое делят, числителем, а то, на которое делят - знаменателем.
Чтобы записать дробь, напишите сначала ее числитель, затем проведите под этим числом горизонтальную черту, а под чертой напишите знаменатель. Горизонтальная , разделяющая числитель и знаменатель, называется дробной чертой. Иногда ее изображают в виде наклонной черты «/» или «∕». При этом, числитель записывается слева от черты, а знаменатель справа. Так, например, дробь «две третьих» запишется как 2/3. Для наглядности числитель обычно пишут в верхней части строки, а знаменатель - в нижней, то есть вместо 2/3 можно встретить: ⅔.
Если числитель дроби больше ее знаменателя, то такую «неправильную» дробь обычно записывают в виде «смешанной» дроби. Чтобы получить из неправильной дроби смешанную, просто разделите числитель на знаменатель и запишите полученное частное. После чего поместите остаток от деления в числитель дроби и запишите эту дробь справа от частного (знаменатель не трогайте). Например, 7/3 = 2⅓.
Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, просто сложите их числители (знаменатели не трогайте). Например, 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Аналогично производите и вычитание двух дробей (числители при этом вычитаются). Например, 6/7 – 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, умножьте числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби – на знаменатель первой. В итоге у вас получится сумма двух дробей с одинаковыми знаменателями, сложение которых описано в предыдущем пункте.
Например, 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 17/12 = 1 5/12.
Если знаменатели дробей имеют общие делители, то есть делятся на одно и то же число, выберите в качестве общего знаменателя наименьшее число, делящееся на первый и второй знаменатель одновременно. Так, например, если первый знаменатель равен 6, а второй 8, то в качестве общего знаменателя возьмите не их произведение (48), а число 24, которое делится как на 6, так и на 8. Числители дробей при этом умножаются на частное от деления общего знаменателя на знаменатель каждой дроби. Например, для знаменателя 6 таким числом будет 4 – (24/6), а для знаменателя 8 – 3 (24/8). Более наглядно этот процесс виден на конкретном примере:
5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.
Вычитание дробей с разными знаменателями производится совершенно аналогично.
Примеры с дробями – один из основных элементов математики. Существует много разных типов уравнений с дробями. Ниже приведена подробная инструкция по решению примеров такого типа.
Для решения примеров с дробями любых типов, будь то сложение, вычитание, умножение или деление, необходимо знать основные правила:
Правило 1, пример 1:
Вычислить 3/4 +1/4.
Согласно правилу 1, если у дробей двух (или больше) одинаковый знаменатель, нужно просто сложить их числители. Получим: 3/4 + 1/4 = 4/4. Если у дроби числитель и знаменатель одинаковы, такая дробь будет равна 1.
Ответ: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Правило 2, пример 1:
Вычислить: 3/4 – 1/4
Пользуясь правилом номер 2, для решения этого уравнения нужно от 3 отнять 1, а знаменатель оставить тем же. Получаем 2/4. Так как два 2 и 4 можно сократить, сокращаем и получаем 1/2.
Ответ: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.
Правило 3, Пример 1
Вычислить: 3/4 + 1/6
Решение: Пользуясь 3-м правилом, находим наименьший общий знаменатель. Наименьшим общим знаменателем называется такое число, которое делится на знаменатели всех дробных выражений примера. Таким образом, нам нужно найти такое минимальное число, которое будет делиться и на 4, и на 6. Таким числом является 12. Записываем в качестве знаменателя 12. 12 делим на знаменатель первой дроби, получаем 3, умножаем на 3, записываем в числителе 3*3 и знак +. 12 делим на знаменатель второй дроби, получаем 2, 2 умножаем на 1, записываем в числителе 2*1. Итак, получилась новая дробь со знаменателем, равным 12 и числителем, равным 3*3+2*1=11. 11/12.
Ответ: 11/12
Правило 3, Пример 2:
Вычислить 3/4 – 1/6. Этот пример очень схож с предыдущим. Проделываем все те же действия, но в числителе вместо знака +, пишем знак минус. Получаем: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.
Ответ: 7/12
Правило 4, Пример 1:
Вычислить: 3/4 * 1/4
Пользуясь четвертым правилом, умножаем знаменатель первой дроби на знаменатель второй и числитель первой дроби на числитель второй. 3*1/4*4 = 3/16.
Ответ: 3/16
Правило 4, Пример 2:
Вычислить 2/5 * 10/4.
Данную дробь можно сократить. В случае произведения сокращаются числитель первой дроби и знаменатель второй и числитель второй дроби и знаменатель первой.
2 сокращается с 4. 10 сокращается с 5. получаем 1 * 2/2 = 1*1 = 1.
Ответ: 2/5 * 10/4 = 1
Правило 5, Пример 1:
Вычислить: 3/4: 5/6
Пользуясь 5-м правилом, получим: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Сокращаем дробь по принципу предыдущего примера и получаем 9/10.
Ответ: 9/10.
Дробными уравнениями называются примеры, где в знаменателе есть неизвестное. Для того чтобы решить такое уравнение нужно пользоваться определенными правилами.
Рассмотрим пример:
Решить уравнение 15/3x+5 = 3
Вспомним, нельзя делить на ноль, т.е. значение знаменателя не должно равняться нулю. При решении таких примеров, это нужно обязательно указывать. Для этого существует ОДЗ (область допустимых значений).
Таким образом, 3x+5 ≠ 0.
Отсюда: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
При x = 5/3 уравнение просто не имеет решения.
Указав ОДЗ, наилучшим способом решить данное уравнение будет избавиться от дробей. Для это сначала представим все не дробные значения в виде дроби, в данном случае число 3. Получим: 15/(3x+5) = 3/1. Чтобы избавиться от дроби нужно умножить каждую из них на наименьший общий знаменатель. В данном случае таковым будет (3x+5)*1. Последовательность действий:
Ответ: ОДЗ x ≠ 5/3 . x = -25/18.
Дробные неравенства по типу (3x-5)/(2-x)≥0 решаются при помощи числовой оси. Рассмотрим данный пример.
Последовательность действий:
Ответ: x = Ø
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:
Например:
Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:
Например:
Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями - ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе - и вперёд! Например:
В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:
Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:
Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:
В первом случае (выражение слева):
Во втором (выражение справа):
Чувствуете разницу? 4 и 1/9!
А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:
то делим-умножаем по порядочку, слева направо !
И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:
Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.
Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!
Практические советы:
1. Самое главное при работе с дробными выражениями - аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.
2. В примерах с разными видами дробей - переходим к обыкновенным дробям.
3. Все дроби сокращаем до упора.
4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).
5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.
Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы...
Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.
Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все - проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.
Вычислить:
Порешали?
Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать... Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
А теперь делаем выводы. Если всё получилось - рад за вас! Элементарные вычисления с дробями - не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет...
Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но... Это решаемые проблемы.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Здесь мы разберемся, как проводится вычитание обыкновенных дробей . Сначала получим правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Дальше рассмотрим вычитание дробей с разными знаменателями и приведем примеры вычитания с подробными решениями. После этого остановимся на вычитании дроби из натурального числа и вычитании числа из дроби. В заключение покажем, как проводится вычитание обыкновенных дробей с использованием свойств этого действия.
Сразу заметим, что в этой статье мы будем говорить лишь о вычитании меньшей дроби из большей дроби. Другие случаи разобраны в статье вычитание рациональных чисел .
Навигация по странице.
Для начала приведем пример, который позволит нам выяснить, как проводится вычитание дробей с одинаковыми знаменателями .
Пусть на тарелке находилось пять восьмых долей яблока, то есть, 5/8 яблока, после чего две восьмых доли забрали. По смыслу вычитания (смотрите общее представление о вычитании), указанное действие описывается так: . Понятно, что при этом на тарелке остается 5−2=3 восьмых доли яблока. То есть, .
Рассмотренный пример иллюстрирует правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями : при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитается числитель вычитаемого, а знаменатель остается прежним.
Озвученное правило с помощью букв записывается так: 
. Эту формулу и будем использовать при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим примеры вычитания дробей с одинаковыми знаменателями .
Пример.
Выполните вычитание обыкновенной дроби 17/15 из обыкновенной дроби 24/15 .
Решение.
Знаменатели вычитаемых дробей равны. Числитель уменьшаемого равен 24 , а числитель вычитаемого равен 17 , их разность равна 7 (24−17=7 при необходимости смотрите вычитание натуральных чисел). Поэтому вычитание дробей с одинаковыми знаменателями 24/15 и 17/15 дает дробь 7/15 .
Краткий вариант решения выглядит так: 
.
Ответ:
.
При возможности нужно проводить сокращение дроби и (или) выделение целой части из неправильной дроби , которая получается при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример.
Вычислите разность .
Решение.
Воспользуемся формулой вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: 
.
Очевидно, числитель и знаменатель полученной дроби делятся на 2 (смотрите ), то есть, 22/12 – сократимая дробь . Выполнив сокращение этой дроби на 2 , приходим к дроби 11/6 .
Дробь 11/6 – неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби). Поэтому из нее нужно выделить целую часть: .
Итак, вычисляемая разность дробей с одинаковыми знаменателями равна .
Вот все решение: 
.
Ответ:
.
Вычитание дробей с разными знаменателями сводится к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого дроби с разными знаменателями достаточно привести к общему знаменателю.
Итак, чтобы провести вычитание дробей с разными знаменателями , надо:
Рассмотрим примеры вычитания дробей с разными знаменателями .
Пример.
Отнимите от обыкновенной дроби 2/9 обыкновенную дробь 1/15 .
Решение.
Так как знаменатели вычитаемых дробей разные, то сначала выполним приведение дробей к наименьшему общему знаменателю : так как НОК(9, 15)=45
, то дополнительным множителем дроби 2/9
является число 45:9=5
, а дополнительным множителем дроби 1/15
является число 45:15=3
, тогда 
и 
.
Осталось вычесть из дроби 10/45
дробь 3/45
, получаем 
, что и дает нам искомую разность дробей с разными знаменателями.
Кратко решение записывается так: 
.
Ответ:
Не следует забывать про сокращение полученной после вычитания дроби, а также про выделение целой части.
Пример.
Вычтите из дроби 19/9 дробь 7/36 .
Решение.
После приведения дробей с разными знаменателями к наименьшему общему знаменателю 36
, имеем дроби 76/9
и 7/36
. Вычисляем их разность: 
.
Полученная дробь сократима, после ее сокращения на 3 , получаем 23/12 . А эта дробь неправильная, выделив из нее целую часть, имеем .
Соберем воедино все выполненные действия при вычитании исходных дробей с разными знаменателями: .
Ответ:
.
Вычитание натурального числа из дроби можно свести к вычитанию обыкновенных дробей. Для этого достаточно представить натуральное число в виде дроби со знаменателем 1 . Разберем решение примера.
Пример.
Выполните вычитание числа 3 из дроби 83/21 .
Решение.
Так как число 3 равно дроби 3/1 , то .
Ответ:
Однако вычитание натурального числа из неправильной дроби удобнее проводить, представив дробь в виде смешанного числа . Покажем решение предыдущего примера этим способом.
Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа можно свести к вычитанию обыкновенных дробей, представив натуральное число как дробь. Разберем решение примера, иллюстрирующего такой подход.
Пример.
Отнимите обыкновенную дробь 5/3 от натурального числа 7 .
Решение.
Представим число 7 как дробь 7/1 , после чего выполним вычитание: .
Выделив целую часть из полученной дроби, получаем окончательный ответ .
Ответ:
Однако существует более рациональный способ вычитания дроби из натурального числа. Его преимущества особенно заметны, когда уменьшаемое натуральное число и знаменатель вычитаемой дроби являются большими числами. Все это будет видно из примеров ниже.
Если вычитаемая дробь правильная, то уменьшаемое натуральное число можно заменить суммой двух чисел, одно из которых равно единице, отнять правильную дробь от единицы, после чего завершить вычисления.
Пример.
Выполните вычитание обыкновенной дроби 13/62 из натурального числа 1 065 .
Решение.
Вычитаемая обыкновенная дробь – правильная. Заменим число 1 065
суммой 1 064+1
, при этом получим 
. Осталось вычислить значение полученного выражения (подробнее о вычислении таких выражений мы поговорим в ).
В силу свойств вычитания, полученное выражение можно переписать как 
. Вычислим значение разности в скобках, заменив единицу дробью 1/1
, имеем 
. Таким образом, . На этом вычитание дроби 13/62
из натурального числа 1 065
завершено.
Вот все решение:
А теперь для сравнения покажем, с какими числами нам бы пришлось работать, если бы мы решили свести вычитание исходных чисел к вычитанию дробей:
Ответ:
.
Если же вычитаемая дробь неправильная, то ее можно заменить смешанным числом, после чего провести вычитание смешанного числа из натурального числа .
