Приветствую вас, уважаемые студенты вуза Аргемоны!
Сегодня мы продолжим учиться материализации предметов. В прошлый раз мы вращали плоские фигуры и получали объёмные тела. Некоторые из них - очень даже заманчивые и полезные. Думаю, что многому, что изобретает маг, можно в дальнейшем найти применение.
Сегодня мы будет вращать кривые. Понятно, что таким образом мы можем получить какой-то предмет с очень тонкими гранями (колбочка или флакон для зелий, ваза для цветов, стакан для напитков и т.п.), потому как вращающаяся кривая именно такого рода предметы и может сотворить. Другими словами, вращением кривой мы можем получить какую-то поверхность - замкнутую со всех сторон или нет. Почему прямо сейчас вспомнилась дырявая чаша, из которой всё время пил сэр Шурф Лонли-Локли.
Вот мы и сотворим дырявую чашу и недырявую, и подсчитаем площадь сотворённой поверхности. Думаю, для чего-то она (вообще площадь поверхности) ведь будет нужна - ну хотя бы для нанесения специальной магической краски. А с другой стороны, площади магических артефактов могут потребоваться для расчёта приложенных к ним магических сил или ещё чего-то. Мы научимся это находить, а уж где применить - найдём.
Итак, форму чаши вполне нам может дать кусок параболы. Возьмём самую простейшую y=x 2 на промежутке . Видно, что при вращении её вокруг оси OY получается как раз чаша. Без дна.
Заклинание для расчёта площади поверхности вращения выглядит следующим образом:
Здесь |y| - это расстояние от оси вращения до любой точки кривой, которая вращается. Как известно, расстояние - это перпендикуляр.
Немного труднее со вторым элементом заклинания: ds - это дифференциал дуги. Эти слова нам ничего не дают, поэтому не будем заморачиваться, а перейдём на язык формул, где этот дифференциал явно представлен для всех известных нам случаев:
- декартовой системы координат;
- записи кривой в параметрическом виде;
- полярной системы координат.
Для нашего случая расстояние от оси вращения до любой точки на кривой равно х. Считаем площадь поверхности получившейся дырявой чаши:
Чтобы сделать чашу с дном, нужно взять ещё кусочек, но другой кривой: на интервале это линия y=1.
Ясно, что при её вращении вокруг оси OY получится донышко чаши в виде круга единичного радиуса. И мы знаем, как считается площадь круга (по формуле пи*r^2. Для нашего случая площадь круга будет равна пи), но вычислим его по новой формуле - для проверки.
Расстояние от оси вращения до любой точки этого кусочка кривой также равно х.
Ну вот, расчёты наши верны, что радует.
А теперь домашнее задание .
1. Найти площадь поверхности, полученной вращением ломаной ABC, где A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), вокруг оси ОХ.
Совет. Записать все отрезки в параметрическом виде.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Кстати, на что похож получившийся предмет?
2. Ну а теперь придумайте что-то сами. Трёх предметов, думаю, хватит.
Прежде чем перейти к формулам площади поверхности вращения, дадим краткую формулировку самой поверхности вращения. Поверхность вращения, или, что то же самое - поверхность тела вращения - пространственная фигура, образованная вращением отрезка AB кривой вокруг оси Ox (рисунок ниже).
Представим себе криволинейную трапецию, ограниченную сверху упомянутым отрезком кривой. Тело, образованное вращением этой трапеции вокруг то же оси Ox , и есть тело вращения. А площадь поверхности вращения или поверхности тела вращения - это его внешняя оболочка, не считая кругов, образованных вращением вокруг оси прямых x = a и x = b .
Заметим, что тело вращения и соответственно его поверхность могут быть образованы также вращением фигуры не вокруг оси Ox , а вокруг оси Oy .
Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y = f (x ) задана кривая, вращением которой вокруг координатной оси образовано тело вращения.
Формула для вычисления площади поверхности вращения следующая:
(1).
Пример 1. Найти площадь поверхности параболоида, образованную вращением вокруг оси Ox дуги параболы , соответствующей изменению x от x = 0 до x = a .
Решение. Выразим явно функцию, которая задаёт дугу параболы:
Найдём производную этой функции:
Прежде чем воспользоваться формулу для нахождения площади поверхности вращения, напишем ту часть её подынтегрального выражения, которая представляет собой корень и подставим туда найденную только что производную:
Ответ: длина дуги кривой равна
.
Пример 2. Найти площадь поверхности, образуемой вращением вокруг оси Ox астроиды .
Решение. Достаточно вычислить площадь поверхности, получающейся от вращения одной ветви астроиды, расположенной в первой четверти, и умножить её на 2. Из уравнения астроиды выразим явно функцию, которую нам нужно будет подставить в формулу для нахождения площади повержности вращения:
.
Производим интегрирование от 0 до a :
Рассмотрим случай, когда кривая, образующая поверхность вращения, задана параметрическими уравнениями
Тогда площадь поверхности вращения вычисляется по формуле
(2).
Пример 3. Найти площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной циклоидой и прямой y = a . Циклоида задана параметрическими уравнениями
Решение. Найдём точки пересечения циклоиды и прямой. Приравнивая уравнение циклоиды
и уравнение прямой
y
= a
, найдём
Из этого следует, что границы интегрирования соответствуют
Теперь можем применить формулу (2). Найдём производные:
Запишем подкоренное выражение в формуле, подставляя найденные производные:
Найдём корень из этого выражения:
.
Подставим найденное в формулу (2):
.
Произведём подстановку:
И, наконец, находим
В преобразовании выражений были использованы тригонометрические формулы
Ответ: площадь поверхности вращения равна .
Пусть кривая, вращением которой образована поверхность, задана в полярных координатах.
Поэтому сразу перейду к основным понятиям и практическим примерам.
Посмотрим на лаконичную картинку
И вспомним: что можно вычислить с помощью определённого интеграла ?
В первую очередь, конечно, площадь криволинейной трапеции . Знакомо со школьных времён.
Если же данная фигура вращается вокруг координатной оси, то речь уже идёт о нахождении объёма тела вращения . Тоже просто.
Что ещё? Не так давно была рассмотрена задача о длине дуги кривой .
И сегодня мы научимся рассчитывать ещё одну характеристику – ещё одну площадь. Представьте, что линия вращается вокруг оси . В результате этого действия получается геометрическая фигура, называемая поверхностью вращения . В данном случае она напоминает такой горшок без дна. И без крышки. Как бы сказал ослик Иа-Иа, душераздирающее зрелище =)
Чтобы исключить двусмысленную трактовку, сделаю занудное, но важное уточнение:
с геометрической точки зрения наш «горшок» имеет бесконечно тонкую стенку и две поверхности с одинаковыми площадями – внешнюю и внутреннюю. Так вот, все дальнейшие выкладки подразумевают площадь только внешней поверхности .
В прямоугольной системе координат площадь поверхности вращения рассчитывается по формуле:
или, если компактнее: 
.
К функции и её производной предъявляются те же требования, что и при нахождении длины дуги кривой
, но, кроме того, кривая должна располагаться выше
оси . Это существенно! Нетрудно понять, что если линия располагается под
осью , то подынтегральная функция будет отрицательной : 
, и поэтому к формуле придётся добавить знак «минус» дабы сохранить геометрический смысл задачи.
Рассмотрим незаслуженно обойденную вниманием фигуру:
В двух словах, тор – это бублик . Хрестоматийный пример, рассматриваемый практически во всех учебниках по матану, посвящён нахождению объёма тора, и поэтому в целях разнообразия я разберу более редкую задачу о площади его поверхности . Сначала с конкретными числовыми значениями:
Пример 1
Вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением окружности 
вокруг оси .
Решение
: как вы знаете, уравнение 
задаёт окружность
единичного радиуса с центром в точке . При этом легко получить две функции:
– задаёт верхнюю полуокружность;
– задаёт нижнюю полуокружность:
Суть кристально прозрачна: окружность
вращается вокруг оси абсцисс и образует поверхность
бублика. Единственное, здесь во избежание грубых оговорок следует проявить аккуратность в терминологии: если вращать круг
, ограниченный окружностью 
, то получится геометрическое тело
, то есть сам бублик. И сейчас разговор о площади его поверхности
, которую, очевидно, нужно рассчитать как сумму площадей:
1) Найдём площадь поверхности, которая получается вращением «синей» дуги 
вокруг оси абсцисс. Используем формулу 
. Как я уже неоднократно советовал, действия удобнее проводить поэтапно:
Берём функцию 
и находим её производную
:
И, наконец, заряжаем результат в формулу:
Заметьте, что в данном случае оказалось рациональнее удвоить интеграл от чётной функции по ходу решения, нежели предварительно рассуждать о симметрии фигуры относительно оси ординат.
2) Найдём площадь поверхности, которая получается вращением «красной» дуги 
вокруг оси абсцисс. Все действия будут отличаться фактически только одним знаком. Оформлю решение в другом стиле, который, само собой, тоже имеет право на жизнь:
3) Таким образом, площадь поверхности тора:
Ответ :
Задачу можно было решить в общем виде – вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением окружности вокруг оси абсцисс, и получить ответ 
. Однако для наглядности и бОльшей простоты я провёл решение на конкретных числах.
Если вам необходимо рассчитать объём самого бублика, пожалуйста, обратитесь к учебнику, в качестве экспресс-справки: 
Согласно теоретической ремарке, рассматриваем верхнюю полуокружность. Она «прорисовывается» при изменении значения параметра в пределах (легко видеть, что 
на данном промежутке), таким образом:
Ответ :
Если решить задачу в общем виде, то получится в точности школьная формула площади сферы , где – её радиус.
Что-то больно простая задачка, даже стыдно стало…. предлагаю вам исправить такую недоработку =)
Пример 4
Вычислить площадь поверхности, полученной вращением первой арки циклоиды вокруг оси .
Задание креативное. Постарайтесь вывести или интуитивно догадаться о формуле вычисления площади поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси ординат. И, конечно, снова следует отметить преимущество параметрических уравнений – их не нужно как-то видоизменять; не нужно заморачиваться с нахождением других пределов интегрирования.
График циклоиды можно посмотреть на странице Площадь и объем, если линия задана параметрически . Поверхность вращения будет напоминать… даже не знаю с чем сравнить… что-то неземное – округлой формы с остроконечным углублением посередине. Вот для случая вращения циклоиды вокруг оси ассоциация в голову мгновенно пришла – продолговатый мяч для игры в регби.
Решение и ответ в конце урока.
Завершаем наш увлекательный обзор случаем полярных координат . Да, именно обзор, если вы заглянете в учебники по математическому анализу (Фихтенгольца, Бохана, Пискунова, др. авторов), то сможете раздобыть добрый десяток (а то и заметно больше) стандартных примеров, среди которых вполне возможно найдётся нужная вам задача.
Если кривая задана в полярных координатах
уравнением , и функция имеет непрерывную производную на данном промежутке, то площадь поверхности, полученной вращением данной кривой вокруг полярной оси, рассчитывается по формуле 
, где – угловые значения, соответствующие концам кривой.
В соответствии с геометрическим смыслом задачи подынтегральная функция 
, а это достигается только при условии ( и заведомо неотрицательны). Следовательно, необходимо рассматривать значения угла из диапазона , иными словами кривая должна располагаться выше
полярной оси и её продолжения. Как видите, та же история, что и в двух предыдущих параграфах.
Пример 5
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг полярной оси.
Решение : график данной кривой можно посмотреть в Примере 6 урока о полярной системе координат . Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому рассматриваем её верхнюю половинку на промежутке (что, собственно, обусловлено и вышесказанным замечанием).
Поверхность вращения будет напоминать яблочко.
Техника решения стандартна. Найдём производную по «фи»:
Составим и упростим корень:
Надеюсь, с заштатными
Пример: Найти объем шара радиуса R .
В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .
Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q (x ) = .
Получаем объем шара:
Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S .
 |
При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x / H , где х - расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.
Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.
Отсюда получаем функцию площадей сечений:
Находим объем пирамиды:
Объем тел вращения.
Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f (x ). Предположим, что функция f (x ) непрерывна на отрезке [ a , b ]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемоетело вращения .
y
=
f
(x
)
Площадь поверхности тела вращения.
М
i
B
Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.
Разобьем дугу АВ на n частей точками M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты x i и y i . При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна D P i . Эта площадь может быть найдена по формуле :
